Геометрический и физический смысл функций действительной и комплексной переменной

Abstract

This article analyzes the various approaches to the theory of functions of a complex variable to identify its geometric meaning. Different interpretations of the geometric meaning of the functions of a complex variable are considered. Using a geometric interpretation of the function of a complex variable in the form of mapping one complex to another and relevant analogy for extending the functions of one real variable, its physical meaning is revealed. Physical meaning of the function of a complex variable is identified by the method of analogies. Thus, the interpretation of the physical meaning of the functions of real and complex variables, based on a common approach to it (meaning) understanding as to the real function, and for the function of a complex variable is proposed. The deformation coefficient domain of the function at the point is used as a quantitative evaluation of the functions properties. It is a quantitative measure of the change in the density of uniformly distributed points in the given map. In accordance with the deformation pattern (tension, compression), this ratio is ether less or higher than neutral element.

В статье анализируются различные подходы в теории функций комплексной переменной к выявлению ее геометрического смысла. Рассмотрены различные трактовки геометрического смысла функций одной комплексной переменной. Используя геометрическую трактовку функции комплексной переменной в виде отображения одной комплексной на другую и соответствующую аналогию для функции одной действительной переменной, выявлен ее физический смысл. Посредством метода аналогий выявлен также физический смысл функции одной комплексной переменной. Таким образом, предложена интерпретация физического смысла функций действительной и комплексной переменной, основанная на едином подходе к его (смысла) пониманию как для функции действительной, так и для функции комплексной переменной. В качестве количественной оценки этого свойства функций используется коэффициент деформации области определения функции в исследуемой точке, представляющий собой количественную меру изменения плотности равномерно распределенных точек при заданном отображении. В зависимости от вида деформации (растяжение, сжатие) этот коэффициент оказывается меньше либо больше единицы.