Решение задач тепло- и массопереноса с нелинейными коэффициентами

Abstract

Equations, which have nonlinear nonmonotonic dependence of one of the coefficients on an unknown function, can describe processes of heat and mass transfer. As a rule, existing approximate methods do not provide solutions with acceptable accuracy. Numerical methods do not involve obtaining an analytical expression for the unknown function and require studying the convergence of the algorithm used. The value of absolute error is uncertain. The authors propose an approximate method for solving such problems based on Westphal comparison theorems. The comparison theorems allow finding upper and lower bounds of the unknown exact solution. A special procedure developed for the stepwise improvement of these bounds provide solutions with a given accuracy There are only a few problems for equations with nonlinear nonmonotonic coefficients for which the exact solution has been obtained. One of such problems, presented in this article, shows the efficiency of the proposed method. The results prove that the proposed method for obtaining bounds of the solution of a nonlinear nonmonotonic equation of parabolic type can be considered as a new method of the approximate analytical solution having guaranteed accuracy. In addition, the proposed here method allows calculating the maximum deviation from the unknown exact solution of the results of other approximate and numerical methods.

Характерной особенностью уравнений, описывающих процессы тепло- и массопереноса, является наличие нелинейной немонотонной зависимости одного из коэффициентов от неизвестной функции. Существующие приближенные методы, как правило, не позволяют получить приемлемых решений. Исключение составляют численные методы, которые не предполагают получения аналитического выражения решения и требуют исследования сходимости использованного алгоритма. В работе предлагается приближенный метод решения, основанный на применении теорем сравнения. Метод заключается в построении верхней и нижней оценок точного решения. Строится процедура последовательного улучшения этих оценок, позволяющая получать решения с заданной точностью. Приводится решение задачи, имеющей точное аналитическое решение. Показана работоспособность предлагаемой методики получения оценок сверху и снизу нелинейных задач с немонотонной зависимостью коэффициентов от неизвестной функции. Показано, что предложенный способ получения оценок решения нелинейного уравнения параболического типа можно рассматривать как способ приближенного аналитического решения с гарантированной точностью. Кроме того, метод позволяет вычислить максимальное отклонение от точного решения результатов применения других приближенных методов.