Применение методов нейросетевого моделирования при решении начально-краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных

Abstract

Машинное обучение позволяет решать самые различные задачи анализа данных, однако его использование для решения дифференциальных уравнений появилось сравнительно недавно. Аппроксимация решения краевой задачи для дифференциальных уравнений (обыкновенных и в частных производных) при этом строится с помощью нейросетевых функций. Подбор весовых коэффициентов осуществляется в ходе обучения нейронной сети. Критериями качества обучения при этом выступают невязки по уравнению и гранично-начальным условиям. Данный подход позволяет находить вместо сеточных такие решения, которые заданы на всей области допустимых значений краевой задачи. На конкретных примерах показаны особенности применения физико-информированных нейронных сетей к решению краевых задач для дифференциальных уравнений различных типов. Методы обучения физико-информированных нейронных сетей могут быть использованы в задачах дообучения интеллектуальных управляющих систем на неполных наборах входных данных.

Machine learning allows you to solve a variety of data analysis problems, but its use for solving differential equations has appeared relatively recently. The approximation of the solution of the boundary value problem for differential equations (ordinary and partial derivatives) is constructed using neural network functions. The selection of weighting coefficients is carried out during the training of the neural network. The criteria for the quality of training in this case are inconsistencies in the equation and boundary-initial conditions. This approach makes it possible, instead of grid solutions, to find solutions defined on the entire feasible region of the boundary value problem. Specific examples show the features of the application of physics-informed neural networks to the solution of boundary value problems for differential equations of various types. Physics-informed neural networks training methods can be used in the tasks of retraining intelligent control systems on incomplete sets of input data.