Mathematic model of manometric tubular spring motion with respect of the mass of the rigid point

Abstract

The article contains a mathematic model of manometric tubular spring, which is used to calculate proper oscillation frequency of these spring with respect to the mass of the rigid point. Experimental studies of proper oscillation frequency of tubular springs with various wall thickness have shown the deviations of calculated values from experimental. It can be explained by the rigid point, which is welded to the end of the tube, and the mass of the rigid point largely interferes with the proper oscillation frequencies of the spring. So, it is necessary to account for the mass of the rigid point when calculating proper oscillation frequency of manometric tubular springs. The tubular spring is described as a bent rod moving in the curvature plain of the central axis. One end of the rod is rigidly fixed and the other end is rigidly loaded. The equation models for a tubular element motion were obtained for normal and tangent projections in line with the D'Alembert's principle (which allows for the inertial forces). To take into account the mass of the point, the density of the string is considered changeable throughout the whole length – at the bedding point of the load it increases intermittently by a certain value. At the section of the rigid string fixture plane the tangent and normal transitions aa well as the angle of rotation of tubular cross-section are equal to zero, and at the free (opposite) end the bending moment, cutting and tensile strains are equal to zero, too.

Представлена математическая модель манометрической трубчатой пружины, на основании которой можно рассчитать частоты собственных колебаний данных пружин с учетом массы жесткого наконечника. Экспериментальные исследования собственных частот колебаний трубчатых пружин с различной толщиной стенки показали отклонения расчетных значений от экспериментальных. Это объясняется тем, что к концу трубки припаивается жесткий наконечник, а масса жесткого наконечника оказывает значительное влияние на собственную частоту колебаний пружины. Поэтому возникла необходимость при расчетах собственных частот колебаний манометрических трубчатых пружин учитывать массы наконечников. Трубчатая пружина рассматривается как изогнутый стержень, совершающий движение в плоскости кривизны центральной оси. Один конец стержня жестко закреплен, а другой жестко соединен с грузом. Уравнения движения элемента Rdφ трубки получены в проекциях на нормаль и касательную в соответствии с Принципом Даламбера (с учетом силы инерции). Для учета массы наконечника плотность пружины считается переменной по длине (в месте закрепления наконечника плотность возрастает скачкообразно на определенную величину). В сечении жесткого закрепления пружины касательное, нормальное перемещения и угол поворота поперечного сечения трубки равны нулю, а на свободном (противоположном) конце изгибающий момент, перерезывающие, растягивающие усилия равны нулю. Для решения полученных уравнений применяется метод Бубнова-Галеркина.