Борелевские многозначные отображения

Abstract

The article studies multivalued mappings of metric space Y into compact metric space X. It is demonstrated that semi continuous multivalued mappings are Borel mappings of the first class. The author investigates whether Borel measurability remains after the operations of intersection, union, taking upper and lower topological limit performed on multi-valued mappings. It is demonstrated that the operations of intersection of finite or countable number of mappings, and also operation of union of countable number of mappings increase a Borel class by one; the operation of union of finite number of mappings does not change a Borel class; the operation of tacking upper topological limit of sequence of multi-valued mappings increases a Borel class by two; the operation of tacking lower topological limit increases a Borel class by three. These results are applied further to the mappings determined by radial limit sets.

В статье рассматриваются многозначные отображения метрического пространства Y в компактное метрическое пространство X. Показывается, что полунепрерывные многозначные отображения являются борелевскими отображениями первого класса. Изучается вопрос о сохранении борелевости при выполнении над многозначными отображениями операций пересечения, объединения, взятия верхнего и нижнего топологического предела. Показывается, что операции пересечения конечного или счетного числа отображений, а также операция объединения счетного числа отображений увеличивают борелевский класс на единицу; операция объединения конечного числа отображений не изменяет борелевского класса; операция взятия верхнего топологического предела последовательности многозначных отображений увеличивает борелевский класс на два; операция взятия нижнего топологического предела увеличивает борелевский класс на три. Эти результаты применяются далее к отображениям, задаваемым радиальными предельными множествами.