Представление фильтрационно-волновых полей в слоистой анизотропной среде в виде плоской волны (часть II)

Abstract

In the second part of the article the first coefficient of the asymptotic expansion has been found, which provides the main part of the amendment specifying the geometry of the wave front of the pressure field in a three-layered anisotropic permeable medium. It is stated that the equation for the first coefficient of the asymptotic expansion in the central region, as well as for the zero one, contains the values of the normal derivative of the pressure field in a related field at its adjoining border (trace of derivative). It is shown in order to obtain a unique solution of the problem for the first coefficient of expansion the condition at x = 0 should be weakened and replaced by the condition for the integral of the unknown function (nonlocal integral one). The problems of this kind are not traditional for mathematical physics that is why this problem is non-classical one. To find the nonlocal condition the formulation of the problem for the remainder after the first expansion coefficient has been carried out. The seeking condition is determined by the requirements of the trivial solution of the problem for the remainder integrally averaged in the range of the central layer. In the space of a sine-Fourier transform the exact solution of the original problem has been found. The correctness of the developed method that allows constructing approximate analytical solution of a wide range of physical problems is confirmed by the comparison of the asymptotic solutions with the expansion coefficients of the exact solution of the parameterized problem in the Maclaurin series according to the formal parameter.

В части II статьи найден первый коэффициент асимптотического разложения, обеспечивающий главную часть поправки, уточняющей геометрию волнового фронта поля давления в трехслойной анизотропной проницаемой среде. Установлено, что уравнение для первого коэффициента асимптотического разложения в центральной области, как и для нулевого, содержит значения нормальной производной от поля давления в смежной области на ее прилегающей границе (след производной). Показано, что для получения единственного решения задачи для первого коэффициента разложения условие при x=0 следует ослабить и заменить условием для интеграла искомой функции (нелокальным интегральным). Задачи такого рода не являются традиционными для математической физики, поэтому рассматриваемая задача является неклассической. Для нахождения нелокального условия осуществлена постановка задачи для остаточного члена после первого коэффициента разложения. Искомое условие определяется из требования тривиального решения задачи для остаточного члена, интегрально усредненной в интервале центрального пласта. В пространстве синус-преобразования Фурье найдено точное решение исходной задачи. Сопоставлением полученных асимптотических решений с коэффициентами разложения точного решения параметризованной задачи в ряд Маклорена по формальному параметру подтверждена корректность развитого метода, позволяющего строить приближенные аналитические решения широкого круга физических задач.