Решение одномерных задач теплопроводности с конвекцией с помощью интеграла Пуассона

Abstract

В нефтегазовой отрасли очень актуальна проблема разработки высоковязкой нефти. Один из способов увеличения ее добычи – тепловой метод. Для моделирования процессов фильтрации необходимо объединить гидродинамические уравнения с уравнением теплопроводности. Полученные математические модели решаются разными численными методами. Точность и сходимость таких алгоритмов редко проверяется. Один из способов осуществления этой проверки – моделирование задач, которые можно в частных случаях решить аналитически. Например, для простых граничных условий применяют ряды Фурье. Другой метод – это применение интеграла Пуассона. Этот способ удобнее для сравнения с результатами численных расчетов, чем метод Фурье, т. к. при той же точности требует значительно меньше вычислений. Но для метода Пуассона требуется знание начального условия на всем пространстве, а в реаль­ных задачах обычно оно дается в ограниченной области. В данной работе предложен алгоритм распространения начальных условий на всё пространство. Таким образом решаются две задачи теплопроводности с учетом конвекции с помощью интеграла Пуассона. Показано, что точность сопоставима с методом Фурье, но при значительно меньшем количестве вычислений.

There is the relevant problem of developing high-viscosity oil in the oil and gas industry. One of the ways increasing its production is the thermal method. It is necessary to combine hydrodynamic equations with the thermal conductivity equation for simulation of filtration processes. The resulting mathematical models are solved by using different numerical methods. The accuracy and convergence of such algorithms is rarely tested. One way to carry out this check is to simulate problems that can be solved analytically in particular cases. For example, Fourier series are used for simple boundary conditions. Another method is usage the Poisson integral. This method is more convenient for comparing results than the Fourier method, because with the same accuracy requires significantly less calculations. But the Poisson method requires knowledge of the initial condition over the entire space, and in real problems it is usually given in a limited area. In this paper we propose an algorithm for extending the initial conditions to the entire space. In this way, two heat conduction problems are solved taking into account convection using the Poisson integral. It is shown that the accuracy is comparable to the Fourier method, but with fewer calculations.