Построение точного стационарного решения системы уравнений газовой динамики в условиях действия сил тяжести и Кориолиса

Abstract

This article considers the isentropic flow case for a system of gas equations, when the energy equation written for entropy is satisfied identically and a system of four nonlinear partial differential equations is obtained for the four unknown functions. The square of the sound velocity of the gas and the Cartesian components of the gas velocity vector are used as the unknown functions. In addition to the system of equations of gas dynamics, the author considers the complete system of Navier-Stokes equations, the solutions of which describe the flows of a compressible viscous heat conducting gas and satisfy the laws of conservation of mass, momentum, energy, and thermodynamic laws. This system is a system of five nonlinear partial differential equations for five unknown functions, in which the energy equation is written for temperature. This work presents exact solutions for each of the considered systems. In the cases of both systems of partial differential equations in each exact solution, the Cartesian components of the gas velocity vector are constant, and the third component along the vertical axis is zero. In the case of a system of equations of gas dynamics, the desired function is the square of the speed of sound, and in the case of a complete system of Navier-Stokes equations, the unknown function-temperature is a linear function of the spatial variables. In these linear functions, the coefficients in front of independent variables depend on the modulus of the angular velocity vector of the Earth’s rotation, on the latitude of the point at which the flow is considered, and on the constant non-zero components of the gas velocity vector in the horizontal direction. Consequently, the constructed exact solutions explicitly accounts for the rotation of the Earth around its axis.

Для системы уравнений газовой динамики рассматривается случай изоэнтропических течений, когда уравнение энергии, записанное для энтропии, выполняется тождественно и получается система из четырех нелинейных уравнений с частными производными для четырех искомых функций. В качестве искомых функций здесь выступают квадрат скорости звука газа и декартовые компоненты вектора скорости газа. Кроме системы уравнений газовой динамики также рассматривается полная система уравнений Навье – Стокса, решения которой описывают течения сжимаемого вязкого теплопроводного газа и также удовлетворяют законам сохранения массы, импульса, энергии и термодинамическим законам. Данная система является системой из пяти нелинейных уравнений с частными производными для пяти искомых функций, в которой уравнение энергии записано для температуры. В случае полной системы уравнений Навье – Стокса кроме температуры в качестве искомых функций выступает плотность газа и также декартовые компоненты вектора скорости газа. Кроме указанных физических эффектов обе системы – система уравнений газовой динамики и полная система уравнений Навье – Стокса – учитывают влияние силы тяжести и записаны в прямоугольной системе координат, вращающейся вместе с Землей. Это приводит к появлению в правых частях обеих систем слагаемых, учитывающих ускорение Кориолиса и ускорение силы тяжести. В работе для каждой из рассмотренных систем приведено свое точное решение. В случаях обеих систем уравнений с частными производными в каждом точном решении декартовые компоненты вектора скорости газа постоянны, причем третья компонента вдоль вертикальной оси равна нулю. В случае системы уравнений газовой динамики искомая функция – квадрат скорости звука, а в случае полной системы уравнений Навье – Стокса искомая функция – температура, которые являются линейными функциями от пространственных переменных. В этих линейных функциях коэффициенты перед независимыми переменными зависят от модуля вектора угловой скорости вращения Земли, от широты точки, в которой рассматривается поток, а также и от постоянных ненулевых компонентов вектора скорости газа в горизонтальном направлении. Следовательно, построенные точные решения в явном виде учитывают вращение Земли вокруг своей оси.