Дифференциально-разностные системы в анализе слабой разрешимости начально-краевых задач с изменяющейся в сетеподобной области пространственной переменной

Abstract

В работе указан подход и соответствующие ему методы, которые поз­воляют построить априорные оценки слабых решений дифференциально-разностной системы с пространственной переменной, изменяющейся в много­мерной сетеподобной области. Такие оценки в пространствах суммируемых функций используются при поиске условий разрешимости краевых задач различного типа для дифференциально-разностных систем. Кроме того, априорные оценки используются для обоснования применения метода дискретизации по временной переменной (полудискретизации) к анализу слабой разрешимости начально-краевых задач и последующего построения приближений слабых решений. Аргументом для использования подхода является тот факт, что представление математических моделей процесса с помощью формализмов дифференциально-разностных систем является единственным инструментом эффективного решения задач переноса сплошных сред по сетеподобным носителям. К примеру, редукция дифференциальной системы (начально-краевой задачи) к соответствующей ей дифференциально-разностной дает возможность не только сущест­венно упростить анализ задач оптимального управления дифференциальной системой (т. к. этот анализ сводится к изучению задачи оптимального управления системой эллиптических уравнений), но и с помощью классических методов теории управления эллиптическими системами алгоритмизировать исходную задачу. Используемая редукция зачастую существенно упрощает условия существования и единственности оптимального управления дифференциальной системой. Данным задачам посвящен достаточно большой спектр исследований нестацио­нарных сетеподобных гидродинамических процессов и потоковых явле­ний. В качестве иллюстрации используемого подхода приведен анализ разрешимости линеаризованной системы Навье–Стокса.

In the work, the approach and the corresponding methods, which make it possible to construct a priori estimates of weak solutions of a differential-difference system with a spatial variable varying in a multidimensional network-like domain are indicated. Such estimates in spaces of summable functions are used to find solvability conditions for boundary value problems of various types for differential-difference systems. In addition, a priori estimates are used to justify the application of the method of discretization with respect to the time variable (semi-discretization) to the analysis of the weak solvability of initial-boundary value problems and the subsequent construction of approximations of weak solutions. The rationale for the approach used is the fact that in a fairly wide class applied analysis of the problems of transporting continuous media networks-like carriers, the representation of mathematical models of the process using the formalisms of differential-difference systems is the only tool for effectively solving these problems. For example, the reduction of a differential system (initial-boundary value problem) to the corresponding differential-difference system makes it possible not only to significantly simplify the analysis of problems of optimal control of a differential system (since this analysis reduces to studying the problem of optimal control of a system of elliptic equations), but also, using classical methods of control theory for elliptic systems, algorithmize the original problem. The reduction used often facilitates establishing the conditions for the existence and uniqueness of optimal control of a differential system. These problems also include a fairly large range of studies of non-stationary network-like hydrodynamic processes and flow phenomena. As an illustration of the approach used and the results obtained, the analysis of the solvability of the linearized Navier–Stokes system is given and the ways of studying the nonlinear Navier–Stokes system are indicated.