Условия существования положения равновесия типа «трехмерный центр» в системе трех дифференциальных уравнений

Abstract

This article studies a system of three differential equations with cubic polynomials in the right-hand sides and seven arbitrary parameters. The authors aim to meet the conditions for the parameters which will allow the system to have a center at the origin. An area of the origin is completely foliated by periodic orbits at such system. This corresponds to the low-amplitude periodic solutions. By introducing a small parameter and transformation to new coordinates, the system is reduced to a set of two differential equations. The solution of the transformed system is represented as a series in powers of a small parameter, as is the Poincare map and displacement map. The study of these maps obtains conditions for the existence of a three-dimensional center.

В данной статье рассматривается система трех дифференциальных уравнений с кубическими многочленами в правых частях, содержащая семь произвольных параметров. Цель исследования заключается в получении условий для параметров, при которых заданная система будет иметь в начале координат положение равновесия типа «центр». Малая окрестность такого положения равновесия нелинейной системы содержит замкнутые траектории, вложенные друг в друга, что соответствует наличию малоамплитудных периодических движений системы. Введением малого параметра и последующим переходом к новой системе координат исходная система сведена к системе двух дифференциальных уравнений. Решение преобразованной системы представлено в виде ряда по степеням малого параметра, что делает возможным получение отображения Пуанкаре в виде ряда по степеням этого же параметра. Исследованием отображения Пуанкаре получены условия существования положения равновесия типа «центр».