Численное исследование устойчивости естественной конвекции

Abstract

Аналитическая теория устойчивости естественной конвекции, основы которой были созданы в середине XX в., на практике применима лишь для анализа достаточно простых модельных объектов: жидкости между твердыми плоскостями, в полостях шаровой и кубической формы, в каналах круглого, прямоугольного и кольцевого сечений и ряда других. Анализ современных технических систем требует привлечения численных методов – наиболее мощных в рамках математического анализа в настоящее время. Тем не менее аналитические методы необходимы для тестирования расчетных кодов и верификации результатов, полученных с помощью численных методов. В статье выполнен цикл численных экспериментов с целью исследования устойчивости стационарных одно- и двухвихревых режимов конвекции, установлены области бифуркации, в которых происходят переходы между этими режимами, и связь этих переходов с изменениями энергетических параметров конвективных течений. Численное моделирование выполнялось в квадратных ячейках на сетке 21 × 21 методом контрольных объемов с помощью алгоритма SIMPLER. В качестве жидкости была взята вода в диапазоне температур от 20 до 50 °C и чисел Грасгофа от 100 до 22 400. При моделировании учитывалась зависимость числа Прандтля от температуры. В результате исследований установлены 4 области бифуркации, в которых установившийся вид конвективных потоков теряет устойчивость и переходит в другой вид: 313,6 < Gr < 396,8; 3 135,8 < Gr < 3 527,3; 10 913,3 < Gr < 13 307,2; Gr > 22 406,0. Установлены 4 критических числа Рэлея, соответствующие этим областям, которые с учетом зависимости числа Pr от температуры равны: Raкр1 = 1 790,7; Raкр2 = 14 738,3; Raкр3 = 45 835,9; Raкр4 = 79 317,2. Показано, что все эти области бифуркации связаны с переходами потенциальной энергии жидкости в кинетическую и обратно. Установлено, что границе применимости приближения Буссинеска соответствует значение Gr ≈ 13 307,2, или Ra ≈ 55 890,2. Сравнение значений критических чисел Рэлея, полученных в численных экспериментах, с числами аналитической теории показывает совпадение первых двух критических чисел Raкр1 и Raкр2. Значения Ra кр3 совпадают по порядку величины, а Ra кр4 различаются почти в 2 раза, что объясняется тем, что значение Ra кр4 выходит за пределы области применимости приближения Буссинеска и, строго говоря, не имеет физического смысла.

The analytical theory of natural convection stability, founded in the middle of the 20th c., is practically applicable only to the analysis of simple model objects: liquid between solid planes, in cavities of spherical and cubic shape, in channels of round, rectangular and annular sections, among others. The analysis of modern technical systems requires the use of numerical methods, which are currently the most powerful methods of mathematical analysis. Yet, analytical methods are necessary for testing calculation codes and verifying the results obtained using numerical methods. This article presents a series of numerical experiments aimed at investigating the stability of stationary oneand two-vortex convection regimes, establishing bifurcation regions in which transitions between these regimes occur, and the relationship of these transitions with changes in the energy parameters of convective flows. Numerical simulation was performed in square cells on a 21 × 21 grid using the control volume method and the SIMPLER algorithm. In place of a liquid, water was taken in the temperature range of 20–50 °C, and Grashof numbers from 100 to 22,400. The dependence of the Prandtl number on temperature was considered in the simulation. The results have established 4 bifurcation regions in which the established type of convective flows loses stability and changes to another form: 313.6 < Gr < 396.8; 3135.8 < Gr < 3527.3; 10913.3 < Gr < 13307.2; Gr > 22406.0. Four critical Rayleigh numbers corresponding to these regions have been found, which, considering the dependence of the number Pr of the temperature is equal to: Racr1 = 1,790.7; Racr2 = 14,738.3; Racr3 = 45,835.9; Racr4 = 79,317.2. All these bifurcation regions are associated with transitions of the potential energy of the liquid into kinetic energy and vice versa. The limit of the Boussinesq approximation applicability corresponds to the values Gr ≈ 13,307.2, or Ra ≈ 55,890.2. The comparison of the values of the critical Rayleigh numbers obtained in numerical experiments with the numbers of the analytical theory shows a very good coincidence of the first two critical numbers Racr1 and Racr2. The Racr3 values coincide in order of magnitude, and Racr4 differ almost twofold, which is explained by the Racr4 value going beyond the scope of the Boussinesq approximation, and, strictly speaking, has no physical meaning.