Построение универсальных нейросетевых решений для семейств краевых задач уравнения пьезопроводности

Abstract

Статья посвящена разработке методов получения нейросетевых аналогов аналитических решений семейств краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных. Аппроксимация решений краевых задач дифференциальных уравнений является актуальной задачей математического моделирования и неотъемлемым элементом алгоритмов оптимизации. Известны способы получения аналитической аппроксимации решений краевых задач за счет обучения физически информированных нейронных сетей. Выполнение уравнения и начально-краевых условий в ходе обучения такой нейронной сети обеспечивается путем добавления соответствующих слагаемых невязки в целевой функционал обучения. Данный подход приводит к тому, что при обучении нейронной сети учитываются только наперед заданные начально-краевые условия, и при их изменении требуется новое обучение. Это значительно увеличивает время расчета и ограничивает применимость физически информированных нейронных сетей при решении оптимизационных задач. В работе предложен способ учета параметризованного множества начально-краевых условий при обучении физически информированной нейронной сети. На примере краевых задач с произвольными начальными и граничными условиями для уравнения пьезопроводности с переменными коэффициентами построен физико-информированный нейросетевой оператор, позволяющий получать семейства аппроксимационных решений, и дана оценка их точности. В основе предложенного метода лежит изменение структуры нейронной сети и использование переменных весовых коэффициентов вместо постоянных, что делает такую нейросеть разновидностью сетей Колмогорова–Арнольда. Для нахождения весовых функций предложено использовать вложенные нейронные сети персептронного вида. Предложенный подход позволяет решать оптимизационные задачи с помощью обученных физически информированных нейронных сетей без обращения к численным сеточным решениям.

The article is devoted to the development of methods for obtaining neural network analogues of analytical solutions to families of boundary value problems for partial diff erential equations. Approximation of solutions to boundary value problems of differential equations is an urgent task of mathematical modeling and an integral element of optimization algorithms. There are known methods for obtaining analytical approximations of solutions to boundary value problems by training physical informed neural networks. The fulfillment of the equation and the initial boundary conditions during the training of such a neural network is ensured by adding the corresponding terms of the discrepancy to the target learning functional. This approach leads to the fact that when training a neural network, only the pre-set initial boundary conditions are taken into account, and when they change, new training is required. This significantly increases the calculation time and limits the applicability of physically informed neural networks in solving optimization problems. The paper proposes a method for taking into account a parameterized set of initial boundary conditions when training a physically informed neural network. Using the example of boundary value problems with arbitrary initial and boundary conditions for the diffusivity equation with variable coefficients, a physical informed neural network operator is constructed that allows obtaining families of approximation solutions and an estimate of their accuracy is given. The proposed method is based on changing the structure of the neural network and using variable weighting coefficients instead of constant ones, which makes such a neural network a kind of Kolmogorov-Arnold networks. It is proposed to use nested perceptron neural networks to find the weight functions. The proposed approach makes it possible to solve optimization problems using trained physically informed neural networks without resorting to numerical grid solutions.